AW-3 Wärmeleitung inhomogener Bauteile

Der Wärmedurchgangswiderstand R_T eines Bauteils aus thermisch homogenen und inhomogenen Schichten parallel zur Bauteiloberfläche wird als arithmetischer Mittelwert des oberen und unteren Grenzwertes des Wärmedurchgangswiderstandes berechnet:

Dabei ist

<table cellpadding="1" cellspacing ="1"><tr><td width="40">R'_T</td><td>der obere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes</td><td>[m^{<small>2</small>}K/W]</td></tr><tr><td width="40">R''_T</td><td>der untere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes</td><td>[m^{<small>2</small>}K/W]</td></tr></table>

Die Berechnung des oberen und unteren Grenzwertes muss durch Aufteilung des Bauteils in Abschnitte und Schichten nach Bild M-1 derart ausgeführt werden, dass das Bauteil in m (a,b,c,...) Abschnitten und j (1,2,3,...) Schichten zerlegt ist, die selbst jeweils thermisch homogen sind. Es wird vorausgesetzt, dass ein Wärmestrom senkrecht durch die Schichten 1,2,3,...,j fließt.

<table cellpadding="2" cellspacing="2"><tr><td width ="90">Bild AW-1:</td><td>Aufteilung eines thermisch inhomogenen Bauteils in Abschnitte a, b, c, d,...,m und in Schichten 1, 2, 3,...,j.</td></tr></table>

Der obere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes R'_T wird unter der Annahme eines eindimensionalen Wärmestroms senkrecht zu den Oberflächen der Bauteilschichten bestimmt.

<table cellpadding="1" cellspacing="1"><tr><td width="450">\(\frac{1}{R'_T}=\frac{f_a}{R_{Ta}}+\frac{f_b}{R_{Tb}}+\frac{f_c}{R_{Tc}}+...+\frac{f_m}{R_{Tm}}\)</td><td width="150">[W/m<small>²</small>K]</td><td>(AW-2)</td></tr></table>

Dabei sind:

<table cellpadding="1" cellspacing ="1"><tr><td width="40">f_a...f_m</td><td>Flächenanteile der einzelnen Abschnitte von a bis m</td></tr><tr><td width="40">R_Ta...R_Tm</td><td>Wärmedurchgangswiderstände der einzelnen Abschnitte von a bis m, die jeweils aus j Schichten bestehen:</td></tr></table>

<table cellpadding="1" cellspacing="1"><tr><td width="450">\(R_{Ta}=R_{Si}+R_{1,a}+R_{2,a}+R_{3,a}+...+R_{j,a}+R_{se}\)</td><td width="150">[m<small>²</small>K/W]</td><td>(AW-3)</tr><tr><td width="450">\(R_{Tb}=R_{Si}+R_{1,b}+R_{2,b}+R_{3,b}+...+R_{j,b}+R_{se}\)</td><td width="150">[m<small>²</small>K/W]</td><td>(AW-4)</td></tr><tr><td width="450">...usw. bis R_Tm</td></tr></table>

Der untere Grenzwert des Wärmedurchgangswiderstandes R''_T wird unter der Annahme bestimmt, dass alle Ebenen parallel zu den Oberflächen der Bauteilschichten isotherm sind. Es wird zunächst ein mittlerer Wärmedurchlasswiderstand R_j für jede thermisch inhomogene (aus den Abschnitten zusammengesetzte) Schicht von 1 bis j wie folgt berechnet:

<table cellpadding="1" cellspacing="1"><tr><td width="450">\(\frac{1}{R1}=\frac{f_a}{R_{a1}}+\frac{f_b}{R_{b1}}+\frac{f_c}{R_{c1}}+...+\frac{f_m}{R_{m1}}\)</td><td width="150">[W/m<small>²</small>K]</td><td>(AW-5)</td></tr><tr><td width="450">\(\frac{1}{R2}=\frac{f_a}{R_{a2}}+\frac{f_b}{R_{b2}}+\frac{f_c}{R_{c2}}+...+\frac{f_m}{R_{m2}}\)</td><td width="150">[W/m<small>²</small>K]</td><td>(AW-6)</td></tr><tr><td width="450">...</td></tr><tr><td width="450">\(\frac{1}{Rj}=\frac{f_a}{R_{aj}}+\frac{f_b}{R_{bj}}+\frac{f_c}{R_{cj}}+...+\frac{f_m}{R_{mj}}\)</td><td width="150">[W/m<small>²</small>K]</td><td>(AW-7)</td></tr></table>

Anschließend ergibt sich aus der Summe der Wärmedurchlasswiderstände der einzelnen Schichten von 1 bis j und der Wärmeübergangswiderstände innen und außen der untere Grenzwert R''_T zu:

<table cellpadding="1" cellspacing="1"><tr><td width="450">\(R''_T=R_{Si}+R_1+R_2+R_3+...+R_j+R_{Se}\)</td><td width="150">[m<small>²</small>K/W]</td><td>(AW-8)</td></tr></table>